Wzory Cramera

Powiedzmy, że mamy dany układ 2 (3) równań liniowych z 2 (3) niewiadomymi o współczynnikach całkowitych. Wiemy, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Chcemy je obliczyć, przy czym chcemy liczyć na liczbach całkowitych tak długo jak tylko się da. Świetnie do tego nadają się wzory Cramera.
Niech dany będzie następujący układ równań:
Macierzą A nazywamy macierzą współczynników tego układu, a macierz B macierzą wyrazów wolnych.
Macierz G_i powstaje w ten sposób, że w macierzy A kolumnę i-tą zastępujemy macierzą B. Dla przykładu macierz G₂ będzie wyglądał następująco:
Rozwiązanie naszego równania wygląda teraz następująco:
Gdzie det X oznacza wyznacznik macierzy X (http://pl.wikipedia.org/wiki/Wyznacznik_macierzy). Jeżeli wyznacznik macierzy A jest równy zero to układ równań nie ma rozwiązania (lub ma ich nieskończenie wiele).
Algorytm wyznacznika macierzy nie zawsze jest łatwa do implementacji. Jednak dla macierzy 2x2 oraz 3x3 obliczenie wyznacznika nie jest trudnym zadaniem.
Co ważne: podczas obliczania wyznacznika korzystamy z operacji dodawania, odejmowania i mnożenia. Nie wychodzi zatem poza liczby całkowite. Operację dzielenia dokonujemy dopiero na samym końcu.
Na koniec jeszcze powiem, że wzory Cramera działają dla każdego układu n równań z n niewiadomymi. Założenia o tym, że mamy tylko 2 (3) równania oraz że współczynniki są całkowite, poczyniliśmy aby pokazać w jakich sytuacjach najlepiej korzystać z metody tu przedstawionej.